平成変換

　今日は平成最後の日。ということで（？）今回は数理パズル、平成変換を取り上げます。

　参考資料によると、平成変換は京都府の上山秀幸氏が平成３年の年賀状で初めて使用したそうです。 その内容を以下に引用します：

　下のような規則で自然数Ⅿから別の自然数Ｎを生成する操作を≪平成変換≫と呼ぶことにする。
　『自然数Ⅿの連続した各位の数が、自然数Ｎの連続した各位の平方に成るか、 または、平方根に成る』
（例）５６３→２５６３→１６３→４３→４９→７
［問題］
（西暦）１９９１（年）を（平成）３（年）に≪平成変換≫せよ！

　例を見れは平成変換の意味は分かると思いますが、一応、説明します。
　５６３の５を平方数の２５に置き換えて２５６３にし、次に２５６の平方根をとって１６３に変換、更に１６を平方根の４に置き換えて４３、 ３を平方数の９にして４９を作り、最後に４９の平方根をとって７に変換します。

つまり平成変換は、
　Ⅿ＝［ｘａｙ］　→　Ｎ＝［ｘａ²ｙ］　（平方変換）
と
　Ⅿ＝［ｘａ²ｙ］　→　Ｎ＝［ｘａｙ］　（平方根変換）
を何度か繰り返した全体の変換です（ｘ，ａ，ｙは任意の自然数。［ｘａｙ］は、その３つを書き並べてできる新しい自然数。 ｘとａの最上位桁は０ではないが、ｘが無い場合もある）。

　もう少し平成変換の例を挙げます。見やすくするために、変換する部分を太字で示し、 行う変換は平方変換は（二乗）、平方根変換は（開平）と表記します。

５６（二乗）→２５６（二乗）→６２５６（開平）→６１６（開平） →６４（開平）→８

２８１（開平）→２９（二乗）→４９（開平）→７

　平成変換は常に逆方向の変換が可能です。つまり、自然数ａを平成変換して自然数ｂが得られる場合、 逆の手順でｂをａに変換できるということです。この関係を、ａ⇔ｂと表記します。
　証明は参考資料に譲りますが、平成変換には次の定理があります。

定理１　ａ⇔ｂ ならば ［ｘａｙ］⇔［ｘｂｙ］

定理２－１　２⇔４⇔６⇔８
定理２－２　３⇔７⇔９⇔１１

定理３　［ｘａ００ｙ］⇔［ｘａ０ｙ］

定理４　（要約）すべての自然数は１，２，３，５，１０，２０，３０，５０に平成変換される （１に平成変換される数は１だけなことに注意）

　先の問題、１９９１⇔３は、１０回の平成変換で可能です。答えは参考資料にあるので、ここには書きません。

　最後に問題を一つ出します。

［問題］
（西暦）２０１９（年）を（平成）３１（年）に≪平成変換≫せよ！

（答えはこちら）

　１に変換できるのは１だけなので、令和元年に変換できないのが残念です。

---

参考資料

数学パズルランド　：　田村三郎　著，　講談社ブルーバックス　１９９２年１月２０日発行

メニューに戻る

---